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CALCUL DES STRUCTURES EN BETON ARME 

CHAPITRE 1: Formulaire des poutres 1: 

But 

Rappeler dans le cas des poutres droites à plan moyen et chargées dans ce plan (cas de la flexion plane) les formules permettant de calculer directement en fonction du cas de charge et des conditions aux limites: 

•  les actions aux appuis; 
•  l'effort tranchant; 
•  le moment de flexion; 

En particulier on rappellera aussi les valeurs maximales de ces efforts qui jouent un rôle primordial dans le problème de dimensionnent.

2. Notations et conventions 

Les notations et conventions utilisées sont extrêmement importantes. Certaines font même l'objet de normes ISO, AFNOR, etc.

2.1 Notations: 

La liste présentée ci-dessous n'est pas exhaustive. Elle cependant suffisamment générale pour couvrir une grand partie des besoins de ce cours de béton armé. Ainsi on notera: 

• A: appui de gauche; 
• B: appui de droite; 
• AB: travée s'appuyant sur les appuis A et B; 
• xx' : ligne moyenne continue passant par les centres géométriques des sections le long de la poutre;
•  q: intensité d'une charge uniformément répartie; 
• P: intensité d'une charge concentrée;
•  C, D: points d'application des charges 
• P, Q; a: distance de la charge concentrée à l'appui considéré;
•  R A , RB : actions des appuis A et B sur la poutre AB; 

2.2 Conventions de représentation: 

Considérons le croquis suivant (figure 1.1) d'une poutre chargée sur appuis simples:  

3. Diagrammes des efforts
3.1 Convention de signe des sollicitations

Les sollicitations sont les éléments de réduction des forces extérieures du tronçon de gauche, au centre G de la section normale S. Le sens positif des éléments de réduction { M,N,V }

Remarques: 

l'effort tranchant est compté positivement vers le haut; 

le moment de flexion est compté positivement dans le sens des aiguilles d'une montre; 

l'effort normal est compté positivement vers la droite (la compression est positive). 

CHAPITRE 2: Caractéristiques géométriques des sections 

1. But 

Déterminer les caractéristiques géométriques qui interviennent dans l'étude de l'équilibre d'une section sous l'effet des sollicitations. 

2. Moment statique 

il sert à trouver le centre de gravité (cdg.) d'une surface donnée S par rapport à un axe situé dans son plan; 

la fibre moyenne d'une section est l'axe GZ passant par le centre de gravité G.  

2.1 Définition

 Le moment statique (unité = 3 cm3 ) d'une surface plane par rapport à un axe passant dans son plan est égal au produit de l'aire de cette surface par la distance de son centre de gravité (ou centre géométrique de la surface) à l'axe considéré

3. Moment quadratique (ou d'inertie) 

3.1 Définition 

Le moment quadratique d'un élément de surface plane par rapport à un axe Oz, situé dans son plan, est égal au produit de l'aire de cet élément dS par le carré de sa distance à l'axe considéré Oz. Le moment quadratique de la surface plane S par rapport à un axe Oz, situé dans son plan, est :

CHAPITRE 3: Contraintes dans une poutre à section hétérogène 

1. But 

Etablir les relations entre les efforts internes et les contraintes dans une poutre rectiligne à plan moyen chargée dans ce plan lorsque sa section est hétérogène.

2. Quelques définitions 

Fibre moyenne: ligne passant par les centres de gravité géométriques des sections de la poutre; c'est une caractéristique géométrique de la poutre; ligne (O, X) de la figure 3.1 

Plan de flexion: plan moyen = plan de symétrie vertical; c'est une caractéristique géométrique de la poutre plan (O, X, Y) de la figure 

Flexion pure: état uniforme de flexion d'une poutre, appelé aussi flexion cylindrique où N = 0, V = 0, M est constant 

Flexion simple: état de flexion sans effort normal N = 0, M quelconque, V = dM/dx 

Flexion composée: état de flexion en présence de l'effort normal N et M quelconques, V = dM/dx 

Fibre neutre: ligne passant par les points où la déformation axiale est nulle; c'est une caractéristique mécanique; ligne fictive dans certains cas de la flexion composée

Remarques: 

L'hypothèse d'Euler-Bernoulli entraîne un glissement identiquement nul dans toutes les sections de la poutre. Cette hypothèse semble contradictoire avec l'hypothèse (H1) qui elle prévoit une contrainte de cisaillement entre les fibres longitudinales de la poutre. Cette contradiction n'est bien sûr pas présente lorsqu'on se contente de l'hypothèse de Navier Bernoulli. 

Mais remarquons l'intérêt considérable que présente cette hypothèse puisqu'elle permet d'éliminer a priori l'inconnue θ du problème. Par ailleurs, comme on le verra dans la suite, l'évaluation de la contrainte de cisaillement peut se faire par l'expression de l'équilibre d'un domaine convenablement choisi de la poutre. 

Par conséquent, il ne faudrait pas mal interpréter la conséquence de l'hypothèse d'Euler Bernoulli sur le cisaillement. Il faut entendre que cette hypothèse montre que la déformation de cisaillement est négligeable sans fournir aucune information sur la contrainte de cisaillement qui elle est évaluée dans ce cas par des considérations d'équilibre. L'usage de l'hypothèse plus correcte et moins forte qui celle de Navier-Bernoulli ne fait que compliquer le problème car elle introduit l'inconnue supplémentaire u'.

Dans l'expression de la déformation axiale, les dérivées des déplacements n'interviennent pas au même ordre. Le déplacement axial est dérivé au premier ordre alors que le déplacement transversal est dérivé au second ordre. Ceci a des conséquences importantes sur le comportement de la poutre, le phénomène de flambage par exemple est directement lié à ce fait.

4. Représentation des déformations dans une section droite de la poutre 

4.1 Cas où ε o =0

Dans ce cas le seul paramètre mesurant la déformation de la poutre est la courbure  κx =Uy ′′ . Deux situations se présentent selon que le signe de la courbure est positif ou bien négatif. Dans la suite, on analysera la concavité de la déformée de la poutre et l'état des fibres extrêmes en fonction du signe de κ (x) au voisinage de x. 

Remarques 

 Remarque 1 

Dans les cas 4.1 et 4.2, il suffit de connaître la déformation axiale d'un point de la section pour déterminer entièrement l'état de déformation de toute la section. Par contre, dans le cas 4.3 les déformations de deux points différents de la section sont nécessaires pour caractériser l'état de déformation sur toute la section. 

Remarque 2 

Le point neutre de la section coïncide avec le centre de gravité de la section dans le cas 4.1 Le point neutre se trouve à l'infini dans le cas 4.2 Le point neutre est soit un point matériel de la section, soit un point fictif se trouvant en dehors de la section dans le cas 4.3. La recherche de la position du point neutre peut alors se faire si l'on connaît au moins la déformation d'un point de la section par simple application du théorème de Thalès. 

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