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STATIQUE DES FLUIDES HYDROSTATIQUE

Introduction

La statique des fluides est la science qui étudie les conditions d’équilibre des fluides au repos.

Quand le fluide est un liquide (eau par exemple), la théorie est appelée l’hydrostatique.

Considérons alors un réservoir, ouvert à l’air libre (ou fermé), contenant un liquide. Nous

considérons que l’ensemble est au repos par rapport à un repère galiléen (O, x, y, z)  . Soit un

point M du liquide et soit dV un élément de volume entourant ce point. L’accélération est

nulle. Le principe fondamental de la dynamique stipule alors que la somme des efforts exercés

sur l’élément de volume de fluide est nulle.

II- Pression en un point de fluide :

En un point M, la contrainte de pression est normale à l’élément de surface dS qui entoure ce
point. On va montrer que cette pression, au point M, est en fait indépendante de l’orientation
de l’élément dS.
En effet, considérons un élément de volume de fluide infinitésimal entourant le point M sous
la forme d’un prisme triangulaire de largeur 1 (unité) suivant la direction y et de dimensions
dx et dz. Pour simplifier, travaillons dans le plan ( x, y ).

III- Equations de l’hydrostatique :

Pour établir les équations locales de l’hydrostatique nous allons écrire que la somme des forces exercées sur un élément de volume infinitésimal entourant un point M du fluide (liquide) est nulle.

Considérons un élément cylindrique, de hauteur dz et de section droite dS, autour de M et dont l’axe est parallèle à z par exemple.

V- Applications

1- 1ère application: Calcul des forces de pression exercées sur une plaque plane solide (forces hydrostatiques):

Soit une paroi (plaque) solide plane de surface S. Pour simplifier, supposons qu’elle est
rectangulaire de dimensions a et b (S = ab). Appelons OXY le plan parallèle et confondu avec
cette surface.

Supposons que cette plaque solide et plane est inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontal
en séparant deux milieux : d’un côté se trouve un fluide incompressible au repos (liquide) et
de l’autre côté se trouve de l’air par exemple.

Cherchons à déterminer la force de pression subie par la plaque de la part du fluide et de l’air,
(intensité, point d’application et direction). Faisons l’étude suivant la direction OX.
Choisissons le point O sur la surface libre et l’axe Oz dirigé vers le bas.

Cas particuliers :
1) Plaque plane en position verticale :

Considérons une plaque S plane rectangulaire en position vertical (α = π 2/ )
Supposons que la limite supérieure de la plaque coïncide avec la surface libre du liquide.
(Dans ce cas sinα = 1 et hM = X )

2) Plaque plane en position horizontale :

Considérons une plaque solide S plane rectangulaire immergée horizontalement dans un liquide à une profondeur H par rapport à la surface libre. L’exemple le plus simple est le fond horizontal d’un vase rempli d’eau. Dans ce cas tous les points M de la plaque sont situés à la même profondeur hM = H. La force de pression exercée sur un élément de surface entourant M.

Remarquons enfin que cette force est indépendante de la forme géométrique du vase.
Quelle que soit la forme des vases, s’ils sont remplis d’un liquide de même nature à la même
hauteur H, et s’ils ont un fond de même surface S, ce fond subit la même force de pression,
alors que les vases ne contiennent pas la même quantité d’eau. (Paradoxe de
l’hydrostatique).

3- Calcul des forces de pression exercées sur une plaque courbe solide (forces hydrostatiques):

Soit une paroi courbe AB retenant un fluide de densité massique ρ.
Soit un élément dS de la surface AB situé à une profondeur h et sur lequel s’exerce une force
élémentaire dF qui se décompose en 2 forces :
Une force dFx, agissant sur la surface dSz projection de dS sur l’axe z.
Une force dFz, agissant sur la surface dSx projection de dS sur l’axe x.

2- 2ère application : Calcul des forces de pression exercées sur une surface fermée –
Théorème d’Archimède :

Soit une surface fermée Σ formant un solide de masse m et de volume V (donc il a une

densité ρS = m/V). Ce corps est totalement immergé dans un fluide incompressible au repos,

de densité ρf. Cherchons alors la valeur des forces de pression exercées par le liquide sur ce solide à travers Σ.

Les forces de pression exercées par un fluide pesant en équilibre sur un solide complètement
immergé, admettent une résultante égale et directement opposée au poids du fluide déplacé,
et appliquée au centre de gravité du fluide déplacé.

Nous pouvons aussi formuler ce principe de la façon suivante :
Tout corps plongé dans un fluide au repos subit une poussée de bas en haut égale au poids du
fluide déplacé.

Pour un corps partiellement immergé, le volume déplacé est égal au volume immergé.
Le point d’application de la poussée d’Archimède (centre de poussée) P est confondu avec le
centre de gravité de la partie immergée du solide. Donc si le solide est totalement immergé
dans le liquide le centre de poussée coïncide avec le centre de gravité G du solide, si par
contre le solide est partiellement immergé, les deux points sont différents.
la poussée d’Archimède est indépendante de :

• la profondeur d’immersion du corps pour un fluide incompressible
• la nature du matériau constituant le corps
• la poussée d’Archimède n’est fonction que :
• de la masse volumique du fluide
• du volume du corps (sa géométrie)

VI- Équations de l’hydrostatique dans un repère relatif (non galiléen)

Rappelons que les équations de l’hydrostatique, pour un fluide au repos, dans un repère fixe
galiléen, et soumis à des forces volumiques extérieures de densité massique Fv , sont données
par la relation (1,1) : En tout point M du fluide on a :

ρFv − gradP = 0

ρ étant la densité du fluide supposée constante et P la pression au point M.

Si les forces volumiques se réduisent au poids du fluide, ces équations deviennent :

                                                                    ρg − gradP = 0

Ici le vase et le fluide sont au repos par rapport au repère galiléen fixe ) Ro = (Ox,O y O z )
L’application de l’hydrostatique s’étend aussi au fluide se déplaçant en bloc avec le vase de
telle sorte qu’il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules .

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