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APPLICATION DU THÉORÈMEBERNOULLI

I- Rappels

La dynamique des fluides consiste à étudier le mouvement d’un fluide soumis à un système

d’efforts. Dans ce chapitre nous nous intéressons à des écoulements de fluide incompressible

(la densité r est ainsi constante) et parfait (la viscosité et les forces visqueuses de frottement

sont négligeables).

1- Equations générales du mouvement – Equations d’Euler :

Soit un écoulement de fluide incompressible et parfait. On considère un repère orthonormé

direct supposé galiléen (O, x, y, z). (l’axe Oz est dirigé vers le haut). Soit dV un élément de

volume infinitésimal entourant un point M de fluide.

2- Equation de Bernoulli :

On considère un écoulement de fluide incompressible et parfait. On suppose que les forces

volumiques se réduisent au poids du fluide.

Ainsi les équations qui régissent l’écoulement sont les équations d’Euler (2,3).

Supposons, en plus, que l’écoulement est permanent (stationnaire). Les équations d’Euler

deviennent alors :

Théorème de Bernoulli :

Dans un écoulement permanent de fluide pesant, incompressible et parfait, la quantité reste constante le long d’une ligne de courant (trajectoire). Cette constante change d’une ligne de courant à une autre

Formules d’application pratiques :
a- Cas d’un gaz :

Lorsqu’un gaz est soumis à de faibles variations de pression, on peut le considérer comme

incompressible (r = constante). Comme en outre les variations des côtes rgz sont en général

négligeables devant les variations dues aux vitesses, on pourra alors les négliger (en fait on

néglige les forces de pesanteur devant les forces de pression). Et la relation de Bernoulli

devient :

b- Cas d’un liquide :

On exprime les différents termes de la relation de Bernoulli en hauteur de liquide de poids

volumique rg :

II- Conséquences du théorème de Bernoulli et applications:

1- Ecoulement par les orifices – Formule de Torricelli

Considérons un grand réservoir ouvert contenant un liquide, et cherchons à déterminer la

vitesse du jet à la sortie de l’orifice

Si le réservoir est assez grand par rapport à l’ouverture de l’orifice, la vitesse à laquelle se

déplace la surface libre est petite (négligeable), de telle sorte que l’écoulement peut être

considéré comme permanent. D’autre part l’écoulement peut être considéré comme irrotationnel, vu que les particules fluides partent pratiquement du repos. Donc la constante de

Bernoulli est la même partout dans le réservoir. On a par exemple :

Cherchons la vitesse du jet au point M.

VA est pratiquement nul. De plus PA = PM = Patm. Alors si nous posons : H = zA - zM : distance

entre la surface libre et l’orifice, alors la vitesse du jet à l’orifice est donnée par ce qu’on

appelle la formule de Torricelli :

La vitesse du jet ne dépend que de la distance H séparant la surface libre et l’orifice.

Cas d’un

2- Mesures expérimentales de la pression et de la vitesse de l’écoulement dans une conduite :

Considérons un écoulement permanent de liquide incompressible et parfait dans une

conduite cylindrique ou prismatique horizontale de section droite constante (où le diamètre est

très petit devant la longueur). Dans ces conditions l’écoulement peut être considéré comme

uniforme. La vitesse reste constante et parallèle aux génératrices de la conduite.

Nous proposons dans ce paragraphe une méthode expérimentale pour mesurer la pression P en

un point quelconque de la conduite et la vitesse de l’écoulement.

Mesure expérimentale de la pression statique dans une conduite – Tube piézométrique :

Soit un point M à l’intérieur de la conduite. Suivant la section droite où se trouve le point M,

plaçons un tube vertical en plexiglas débouchant dans la conduite. Une partie du fluide monte

dans le tube vertical et le niveau se fixe en un point B où règne la pression atmosphérique atm P .

Soit A le point commun de la conduite et le tube vertical.

3- Débitmètres. Tube de Venturi:

Ce sont des appareils qui permettent de mesurer le débit ou la vitesse de l’écoulement d’un

fluide dans une conduite de section S1.

Le tube de Venturi est un tube de section S1 convergent jusqu’à la section S2 située dans un

col, puis divergent jusqu’à la section S3 = S1. Ce tube peut être intercalé dans la conduite de

section S1 pour y mesurer le débit.

Trompe à eau

• Une trompe à eau est un équipement de laboratoire qui permet de faire le vide dans une enceinte confinée, par exemple lors d'une distillation à pression réduite.
• La trompe à eau est composée d'un corps cylindrique creux, d'une prise d'aspiration latérale (perpendiculaire à l'axe de la trompe) ainsi qu'un système de fixation permettant de relier la trompe à un robinet d'eau.
• Le corps creux possède une section resserrée au niveau de la prise d'aspiration, ce qui permet de créer une dépression par effet Venturi et qui conduit au phénomène d'aspiration.
• La trompe à eau est un système efficace, mais qui consomme beaucoup d'eau (le robinet doit être ouvert pendant toute la durée de l'aspiration).

Éjecteur

• C’est un outil industriel généralement utilisé pour l'extraction des fumées, ou l'obtention d'un vide. Il fonctionne à partir du principe de l'effet venturi.
• Un gaz est éjecté à grande vitesse à l'entrée du venturi (généralement de la vapeur d'eau) et l'aspiration se produit au niveau de l'étranglement.
• Un éjecteur permet l'obtention d'une aspiration sans utiliser des pièces mobiles.
• Il remplace donc les pompes là où des pièces mécaniques en mouvement sont à éviter. Il est particulièrement adapté à l'aspiration de particules de diamètre supérieur à 1,0 μm

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