DÉPLACEMENTS DES POUTRES FLÉCHIES

DÉPLACEMENTS DES POUTRES FLÉCHIES

Les poutres considérées sont droites et possèdent un plan de symétrie qui contient les charges appliquées. Dans ces conditions, la flexion se fait dans le plan de symétrie de la pièce considérée.

Ce chapitre expose les principales méthodes qui permettent d'obtenir l'équation de la déformée.

IMPORTANCE DES CALCULS DE DEPLACEMENTS

Dans toute étude de structure, outre le calcul des réactions, des éléments de réduction et des contraintes, on fait également des calculs de déplacements. Généralement, on fixe pour les déplacements des sections des limites admissibles à ne pas dépasser, tout comme pour les contraintes. Il n'est pas rare même que les conditions de déformabilité soient plus sévères que les conditions de résistance.

La limitation des déplacements vise avant tout à préserver la fonctionnalité de la construction. A titre d'exemple, une trop grande déformabilité des poutres peut provoquer la fissuration des cloisons légères et engendrer des désordres très gênants.

D'autre part, lorsque les déplacements sont importants ils peuvent modifier significativement l'action des charges appliquées (ils engendrent d'autres efforts, dits effets du second ordre), et dans ce cas il est nécessaire d'en tenir compte.

Par ailleurs, la résolution des problèmes hyperstatiques, qui constituent l'essentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de déplacements.

Le déplacement de la section d'une poutre peut être :

• une translation
• une rotation

Dans le cas d'une poutre horizontale fléchie dans le plan xy, l'axe des x étant confondu avec l'axe longitudinal de la pièce, les déplacements verticaux des centres de gravité des sections droites, mesurés à partir de l'axe x, sont appelés flèches. Les rotations se font autour de l'axe z (axe neutre) et représentent les angles, mesurés en radians, dont tournent les sections droites de la poutre.

EQUATION DIFFERENTIELLE DE LA DEFORMEE

Considérons une poutre horizontale simplement appuyée, fléchie dans le plan vertical xy (Figure 2.1). Après flexion, l'axe longitudinal AB de la poutre prend la forme courbe AMB. Cette courbe est appelée déformée ou ligne élastique (ou élastique tout simplement) de la poutre et peut être décrite par une équation de la forme y = f(x). Les ordonnées y représentant les flèches subies par les sections

(leurs centres de gravité plus exactement) de la pièce.

L'influence de l'effort tranchant sur la courbure de la déformée étant généralement très faible, elle peut être négligée (nous étudierons plus loin l'influence de T). Nous admettrons donc que la courbure de la ligne élastique en un point donné ne dépend que de la valeur du moment fléchissant en ce point.

Le facteur ε vaut ± 1 et a été introduit pour des raisons que nous évoquons plus loin. Remarquons toute fois que du point de vue mathématique ε vaut + 1 et le signe de la courbure ne dépend que de la valeur de la dérivée seconde (le dénominateur de l'expression (2.2) étant strictement positif). Ainsi, la

courbure (ou la dérivée seconde) est positive si la concavité de la courbe est tournée vers les y positifs et elle est négative quand la concavité est orientée vers les y négatifs

Physiquement, la dérivée première y' = dy/dx représente la pente de la tangente à la déformée y au point courant M. Dans le cadre de l'hypothèse admise des petits déplacements, les angles sont très petits et, non seulement on peut confondre la tangente et l'angle (dy/dx = tgθ ≈ θ), mais le terme (dy/dx)2 devient négligeable devant l'unité.

   

Il importe de noter que dans le cas des barres très élancées, les flèches peuvent être importantes et l'expression (2.4b) ne fournit plus une bonne approximation. Il faut alors faire usage de la relation (2.3), sachant que ε vaut -1 pour les raisons données plus haut. L'utilisation de la définition exacte de la courbureintroduit deux différences fondamentales par rapport à l'approximation (2.4) :

l'équation différentielle n'est plus linéaire,

dans le calcul du moment, il faut tenir compte de l'influence des déplacements, ce qui revient à introduire des moments additionnels secondaires (moments du second ordre).

D'autre part, la relation (2.1) montre qu'il y a proportionnalité entre la courbure et le moment fléchissant, autrement dit les développements à partir de cette équation sont valables uniquement dans le domaine élastique linéaire. Si on sort de ce domaine, il faut utiliser une relation non linéaire de la forme 1/R = f(M), déduite de l'étude du comportement élastoplastique de la pièce considérée.