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RESISTANCE DES MATERIAUX

INTRODUCTION

Comprendre les notions de base de la RDM.

Prérequis :

Modélisation des actions mécaniques.

Le principe fondamental de la statique.

Eléments de contenu :

1- But de la RDM.
2- Principe du calcul de RDM.
3- Hypothèses générales de la RDM.
4- Efforts intérieurs (torse ur de cohésion).
5- Composantes du torseur de cohésion.
6- Vecteur contrainte en un point.
7- Sollicitations simples et composées

Parmi les objectifs visés par l'étude mécanique des systèmes matériels est le dimensionnement des différents solides constituant le système.
La première modélisation des solides, en solides globalement indéformables, permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, de déterminer les actions appliquées à ces solides.

Une deuxième modélisation des solides, en poutres droites permet de prévoir leur comportement sous charge. (Déformations, résistance...) et cela grâce aux différentes lois de la résistance des matériaux.

La résolution des problèmes posés par la résistance des matériaux fait appel à de nombreuses hypothèses, nécessaires pour obtenir rapidement des résultats exploitables.

1-But de la résistance des matériaux

La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides. Elle permet de définir les formes, les dimensions et les matériaux des pièces mécaniques de façon à maîtriser leur résistance, leur déformation tout en optimisant leur coût.

Exemples:

Un pont est vérifié en résistance des matériaux pour:
- Assurer sa résistance sous son propre poids et celui des véhicules ;
- Assurer sa résistance en cas de forte tempête.
Une bouteille est vérifiée en résistance des matériaux pour:
- Assurer sa résistance lorsqu'elle est pleine ;
- Assurer une résistance minimum en cas de chute ;
- Minimiser l'épaisseur de la bouteille pour faire des économies sur la
matière première.

2- Principe du calcul de RDM :

Pour réaliser un calcul de résistance des matériaux, nous avons besoin de connaître les actions mécaniques exercées sur le mécanisme (ces actions sont déterminées dans l'étude de statique ou de dynamique) et les matériaux utilisés.L'étude de résistance des matériaux va permettre de définir les sollicitations et les contraintes qui en résultent.

3- Hypothèses générales de la RDM :

Pour faire une étude de résistance des matériaux, nous avons besoin defaire des hypothèses simplificatrices. Une fois que ces hypothèses sont définies,nous pouvons nous lancer dans l'étude.

3-1 Hypothèses sur le matériau :

Le matériau est supposé continu (nifissures ni cavités), homogène (tous les éléments du matériau ont une structure identique) et isotrope (en tout point et dans toutes les directions, le matériau

possède les mêmes caractéristiques mécaniques).

3-2 Hypothèses sur la géométrie des solides :

La RDM étudie uniquement des solides en forme de poutres (solide idéal) présentant :

des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimension transversales.
des sections droites constantes ou variables lentement en dimension ou en forme.

Une poutre est engendrée par la translation d'une section droite et plane S dont le barycentre G décrit une ligne Lm (appelée ligne moyenne) droite ou à grand rayon de courbure. La section droite S reste toujours perpendiculaire à la ligne moyenne C.

1-3 Hypothèses sur les déformations (Hypothèse de Navier-Bernoulli) :

Les sections planes et droites (normales à la ligne moyenne) avant

déformation restent planes et droites après déformation.

4-Efforts intérieurs (Torseur de cohésion) :

Soit une poutre E [AB], en équilibre sous l'effet d'actions mécaniques extérieures. Pour mettre

en évidence les efforts transmis par la matière au niveau d'une section S, nous effectuons une coupure

imaginaire dans le plan P contenant S.Il la sépare en deux tronçons El (Partie gauche) et E2. (Partie droite)

On isole le tronçon El

Les actions mécaniques que .le tronçon E2 exerce sur le tronçon El à travers la section droite S sont des actions mécaniques intérieures à la poutre E.

Nous en ignorons à priori la nature, cependant la liaison entre El et E2 peut être modélisée par une liaison complète. On peut donc modéliser l'action mécanique E2 sur El par un torseur appelé torseur de cohésion et noté {coh} dont les éléments de réduction en G seront R(x) et MG(x).

Cette relation permet de calculer les éléments de réduction du torseur de cohésion à partir des actions mécaniques extérieures à gauche (connues par la statique).

Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohésion dans le cas où le torseur des actions mécaniques à droite est plus simple à déterminer.

Conclusion :

Chaque tronçon est en équilibre et l'application du PFS, à l'un ou à l'autre, permet de faire apparaître et de calculer le torseur de cohésion au niveau de la coupure.

Remarque :

Le torseur de cohésion est modifié lorsque l'on déplace la coupure le long de la poutre :

Si une discontinuité d'ordre géométrique (changement de direction de la ligne moyenne) apparaît (exemple: poutre en équerre).
Si une discontinuité liée à une résultante nouvelle (ou un moment nouveau) apparaît

6- Vecteur contrainte en un point :

6-1 Vecteur contrainte :

Les actions mécaniques de cohésion sont les efforts que le tronçon E2 exerce sur le tronçon El à travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces action mécaniques sont réparties en tout point M de S suivant une loi a priori inconnu. Notons df l'action mécanique au point M et dS l'élément de surface entourant le point. Soit n la normale issue de M au plan de la section S, orientée vers l'extérieur de la matière du tronçon E1.

7- Sollicitations simples et composées :

Une sollicitation est dite simple si le torseur de cohésion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitation est dite composée si le torseur de cohésion comprend plusieurs sollicitations simples (Traction + flexion par exemple).