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METHODE DES ROTATIONS

INTRODUCTION

Bien qu’ayant un caractère général, comme la méthode des forces, la méthode des rotations (des déplacements ou des déformations) est cependant surtout utilisée pour le calcul des structures constituées de barres, généralement droites. Des barres droites assemblées en leurs extrémités (nœuds) forment des structures appelées portiques

Les portiques ont un comportement essentiellement flexionnel, c'est-à-dire que la flexion est prépondérante. On peut de ce fait négliger les déformations provoquées par l'effort normal et l'effort tranchant. Les structures auxquelles on s'intéresse ici sont planes et chargées dans leur
plan.

D'une façon générale, la méthode des déplacements est utilisée lorsque le degré d'hyperstaticité est élevé. Notons aussi qu'elle s'applique parfaitement aux poutres continues ; dans ce cas, les appuis intermédiaires constituent les nœuds de la structure.

CLASSIFICATION DES STRUCTURES

La méthode étant basée sur les déplacements des nœuds, les structures considérées sont classées en fonction des possibilités de déplacement de leurs nœuds.

On distingue deux catégories

Les structures à nœuds fixes ou à nœuds invariables

Dans de telles structures, les nœuds ne peuvent subir que des rotations.

Notons que la dérive (c’est-à-dire la translation) des nœuds d'un système peut être empêchée soit par la nature même du système (notamment le type d'appuis) soit par une symétrie de la géométrie et du chargement du système.

Les structures à nœuds déplaçables

Ce sont des structures dont les nœuds ou certains nœuds subissent des translations en plus des rotations.

Une structure est à nœuds déplaçables si le système articulé, obtenu par remplacement de tous les nœuds et de tous les encastrements d'appui par des articulations, constitue un système instable (mécanisme).

Le nombre de translations possibles pour les nœuds représente le nombre de degrés de liberté (ddl) du système articulé. Le nombre de ddl correspond au nombre de liaisons supplémentaires qu'il faut ajouter à la structure articulée instable pour qu'elle devienne immobile (stable), du point de vue translation.

Le nombre de translations indépendantes possibles d'un système vaut :

Kt = 2n – (b+l)

Avec :

n = nombre de nœuds et d'appuis.
b = nombre de barres (une console n'est pas comptée comme une barre).
l = nombre de liaisons aux appuis du système articulé.

PRINCIPE DE LA METHODE

La méthode consiste à déterminer les déplacements (rotations et translations)des nœuds de la structure ; puis, en raison de l'interdépendance qui existe entre les déformations et les efforts, on détermine les efforts (moment, effort tranchant et effort normal). Le principe de la méthode est décrit par les trois étapes suivantes.

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Afin d'obtenir un système équivalent à la structure initiale, on applique des déplacements (inconnus) correspondant aux liaisons ajoutées

SOLLICITATION DES BARRES DROITES HYPERSTATIQUES

Comme nous venons de le voir, le système de base est constitué de barres qui
peuvent être :

encastrées aux deux extrémités
encastrées d'un côté et appuyées de l'autre

Ces barres sont sollicitées par :

les déplacements appliqués
les charges extérieures

Le calcul de ces poutres peut être effectué par l’une des méthodes exposées précédemment comme la méthode des paramètres initiaux, la méthode des forces ou encore la formule des 3 moments ou toute autre méthode.

Barres soumises à des déplacements d'appuis

Examinons à titre d’exemple le cas de la poutre encastrée à ses deux extrémités soumise à une rotation de l’un de ses appuis.

Méthode des paramètres initiaux

On veut calculer les réactions. Soient RA, MA, RB et MB les composantes des réactions aux appuis A et B qui apparaissent sous l'action de wA.

Barres soumises à des charges

Les calculs peuvent être menés par les méthodes exposées dans les chapitres précédents. Les diagrammes des moments et les réactions des cas de charge les plus courants sont regroupés dans le tableau.