RESISTANCE DES MATERIAUX TORSION // Lien de téléchargement : http://scapognel.com/1P4D

RESISTANCE DES MATERIAUX

TORSION

1. Définition - Exemples

Une poutre droite est sollicitée en torsion chaque fois que les actions aux extrémités (A et B) se réduisent à deux couples M et –M égaux et opposés d’axe la ligne moyenne Lm.

2. Déformations – Angle de torsion 

2.1 Constatations expérimentales

Les sections droites avant déformation restent droites après déformation (planes et perpendiculaires à la ligne moyenne).
Les fibres ou génératrices initialement parallèles à la ligne moyenne s’enroulent suivant des hélices autour de cet axe. La longueur des fibres restent sensiblement invariable ou constante (hypothèse des petites déformations).
Les sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotations d’axe le ligne moyenne). Les rayons GK restent droits dans le domaine élastique, mais s’incurvent dans le domaine plastique.

L’angle unitaire de torsion q est proportionnel au moment de torsion MT : MT = G q I0

• avec MT le moment de torsion (Nmm)
• G le module d’élasticité transversal (MPa)
• q l’angle unitaire de torsion (rad.mm-1)
• I0 le moment polaire par rapport au point G (mm4)

Efforts intérieurs – Moment de torsion

La démarche reste la même qu’aux chapitres précédents, on pratique une coupure fictive (S) dans la poutre afin de la diviser en deux tronçons pour faire apparaître et calculer (statique) les efforts intérieurs ou de cohésion (S est une section droite).

4. Contraintes tangentielles de torsion

En torsion, et dans le cas des petites déformations, les contraintes normales s sont négligeables. Les
contraintes dans la coupure (S) se réduisent à des contraintes tangentielles ou de cisaillement t. A partir de la relation « t = G g  » obtenue au chapitre « Cisaillement », on montre que la contrainte tM, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle à la distance r = GM, entre le point et la ligne moyenne.

Calcul des constructions

Sauf pour le cas où la rupture est recherchée, la contrainte tangentielle maximale tMaxi doit rester inférieure à la résistance pratique au glissement ou au cisaillement Rpg du matériau.

Exemple : pour le tournevis précédent, on impose une contrainte admissible au cisaillement de 200 GPa. Déterminons la valeur maximale du diamètre d lorsque MT Maxi = 24 Nm.

Relation entre MT et q

En chaque point M de la coupure s’exerce, pour l’élément de surface DS autour de M, une force élémentaire

Df = t × DS dont la direction est perpendiculaire à GM.

Concentration de contraintes

Lorsque les arbres étudiés présentent de brusques variations de section (gorge, épaulement, trou de
perçage…), les relations précédentes ne sont plus applicables. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes est modifiée, tMaxi est supérieure à t calculée : on dit alors qu’il y a concentration de contraintes.
Si Kts est le coefficient de concentration de contraintes :

Exemple : déterminons la contrainte au fond d’une gorge d’un arbre de transmission soumis à un couple de torsion de 400 Nm.



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